傅里叶分析

2022-02-16 阅读量

公式推理篇

这是第一次的做数学方面的笔记记录，“傅里叶分析”的内容我一直在关注，原来关注的重点一直是在他的推导上，直到我有一天在逛B站时，发现可以用傅里叶分析和编程来画出任何的图像的时候，我准备在重新仔细的去研究，本篇文章的语气也尽量的诙谐和幽默😄

身份介绍：
- 姓名：傅里叶分析
- 亲属：傅里叶级数和傅里叶变换
- 到此的原因：炫耀😄

一、傅里叶分析的介绍

姓名	傅里叶级数	傅里叶变换
所属	级数	数学的方法
使用范围	满足狄利克雷条件的周期函数	满足狄利克雷条件的函数

二、故事开始

首先，我是想不去管所谓的狄利克雷条件；我们先从傅里叶分析最初的假设开始，而我们要做的就是一起想方设法去证明这个假设，(从最原始的不言自明的公理出发，配合我们的逻辑推导，慢慢地，去找出所有的满足该推导过程的假设，从而找出所有的适用范围，并且导出最后的结论)下面就让我开始玩吧😄

最初的假设：
假设，任何的周期函数 $f(t)$ 都可以用一系列的正弦函数的和的形式来表示；

好了，现在这个最初的假设已经出来了，请读者和我一起分析，这句话所表达出来的信息；
任何一个周期函数 $f(t)$ ，那我们是否要去考虑他的周期呢？都可以用一系列的正弦函数的和的形式来表示 ，那这样的正弦函数有什么样的特点呢？反正不管怎么样，我们先用数学语言来将这句话给描述出来吧！！！
(题外话：我一直坚定不移地认为数学的本质是一门语言，描述了事物的数量，信息，空间，变化和结构，只有经过数学语言描述之后的事件，才可以被定量)

f(t)=A_0 + \sum_{n=1}^\infty A_nsin(w_nt+\theta_n) \tag{1}

ok，现在已经描述好了，不过我觉得还是有必要的去解释一下这个公式，首先由于正弦函数是一系列的，所以就要把写出来的公式满足这个条件,由于三角函数的基本形式是： $f(t)=Asin(wt+\theta)$ 所以，只要是不一样的正弦函数，就可以通过改变 $A、w、\theta$ 这三个变量，而这里的 $A、w、\theta$ 表示的都是数列；

A = \lbrace A_0、A_1、A_2、.......、 A_n \rbrace ; w = \lbrace w_0、w_1、w_2、......、 w_n \rbrace ; \theta = \lbrace \theta_0、\theta_1、\theta_2、......、\theta_n \rbrace

ok,所以对应的数学语言的描述就是如刚才公式(1)所看见的那样；
下面就是做一个好玩的变换的思考，看看刚才的(1)的这个式子是否可以变换成一种更加简洁的形式，尝试去化简他，并观察他的最后结果：

先再次的观察上述(1)的式子

f(t)=A_0 + \sum_{n=1}^\infty A_nsin(w_nt+\theta_n) \tag{1}

准备去拆解(只去关注本式子中最关键的那个部分):
$A_nsin(w_nt+\theta_n)$
这个是上面的整个式子的关键，我们来对他作最简单的一个三角函数的变换：
由如下的公式得：
$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$
所以：

A_nsin(w_nt+\theta_n) = A_n[sin(w_nt)cos(\theta_n)+cos(w_nt)sin(\theta_n)]

= A_nsin(w_nt)cos(\theta_n)+A_ncos(w_nt)sin(\theta_n)

= A_ncos(\theta_n)sin(w_nt)+A_nsin(\theta_n)cos(w_nt)

= a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt) \tag{2}

这里的 $a_n和b_n$ 对应的是 $A_ncos(\theta_n)和A_nsin(\theta_n)$ 这里就是相当于，把 $A和\theta$ 这两个集合上的值进行运算，来变成另外的两个集合；
好了，到了这一步，我们就可以把公式(2)和公式(1)进行结合，来得到公式(3),所以，公式(3)如下图所示：

f(t)=A_0 + \sum_{n=1}^\infty A_nsin(w_nt+\theta_n)=A_0 + \sum_{n=1}^\infty a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt) \tag{3}

ok,其实到这里了，我们发现，如果我们要是想要去证明我们之前的假设，只需要能够把所有的未知的集合的具体的数值给找出，或者能够写出每组数列对应的相关的表达式；那么，下面，我们需要用什么样的一种方法呢？
我们再次观察等式(3),我们省略去他的中间的部分只观察他的头部和尾部，并将他认为是公式(4)，如下所示：

f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt) \tag{4}

由于这个公式里面的主角是三角函数，那么我们思考的主要侧面就是往三角函数的方向上来进行；那么，在这里需要用到三角函数的那些性质呢？？？这里真的就是有点意思了，使用哪些性质，可以完美的将对应的数列的表达式写出？？？

继续观察
首先，我们来欣赏一下由Python画的sin(x)在一个周期上的函数图像，对应的代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(0,2*np.pi,0.01)
y = np.sin(x)

plt.plot(x,y)
plt.show()

我们不难可以从图片中发现， $sin(x)$ 在整个周期上的定积分是为0的，那么就是说下面的等式是成立的

\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} sin(x)dx = 0 \tag{公理1}

由于

0+0+0+....+0 = 0 ,即 N*0 = 0 ，N\in Z \tag{公理2}

所以，对于任意一个 $N\in Z$ ，都存在：

N*\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} sin(x)dx = 0

公式也可以理解为:

\int_\frac{-N*T}{2}^\frac{N*T}{2} sin(x)dx = 0 \tag{公理3}

此时的 $T=2\pi$ ,那么现在回到我们刚才的问题；
问题：
使用三角函数的哪些性质，可以完美的将公式(4)中对应的数列的表达式写出？？？

f(t)=A_0 + \sum_{n=1}^\infty a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt) \tag{4}

ok,我们看下面的一串代码，描绘的是sin(x)和sin(2x)在同一幅图像上的样子；

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(0,2*np.pi,0.01)
y = np.sin(x)
z = np.sin(2*x)

plt.plot(x,y)
plt.plot(x,z)
plt.show()

根据上面的图像，我们不难可以通过刚才的公理3得到：

\int_{-\pi}^{\pi} [sin(x)+sin(2x)]dx = 0

此时，的 $sin(x)的T=2\pi,sin(2x)的T=\pi$ ,对于这样的图像，我们是否能够有启发？我们是否能够充分的发挥我们的想象力去，和自己既定的假设来对公式(4)进行破解？我们所需要的一系列的正弦函数真的是没有关系的嘛？如果是随机的，并且 $w,T,\theta$ 的表达式是未知的，那么，我们最初的猜想就是不成立的，我们就可以堂而皇之推翻傅里叶百年前的观点；但是，我们是否可以通过加上某些特定的条件来使 $w,T,\theta$ 的表达式可知？
好吧，可能说到这里，我们开始有点乱了，那么，下面我们就把我们遇到的问题整理出来吧😄

序号	问题	条件
1)	我们如何通过三角函数自身的性质来算出公式(4)中每个数列的具体的表达式	由一系列的正弦函数组成
2)	如果无法直接的算出公式(4)中每个数列的具体数值的话，那么我们是否可以通过引入某一个值，某一个条件，或者某一个元素，来使你的目的变得可行呢？	正弦函数的变量元素由三个数组构成

ok,现在，我们已经详尽地列出了我们现阶段所要解决的问题，我们是否可以通过三角函数的性质或者公里来推导出公式(4)中的数列的表达式？

f(t)=A_0 + \sum_{n=1}^\infty a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt) \tag{4}

我们不难发现，我们现在很困难；无从下手对于现在的条件来说，我们现在的条件在上面的表格中列出；那么，我们现在是否可以自己给自己增添一些条件，以便达到最后的目的呢？
我们观察不难发现，现在的条件少的可怜，如果是从一系列的正弦函数的角度来说的话，各个正弦函数的不相关性，正的是让我们头疼；对呀，我们可以让这些正弦函数变得相关；而且，如果对于任意一个周期函数 $f(t)$ 来说如果构成他们的一系列正弦函数是不相关的，没有任何相关性的话，那么他们如何去满足 $f(t)=f(t+T)$ 这一基本条件呢？而且，站在设计者的角度出发，我们也不难发现，如果要是能够满足 $f(t)=f(t+T)$ 且妄想用一系列的正弦函数来描述的话，那么 $T$ 必然要求要是这一系列的正弦函数的周期；好的，到了这里，事情变得有意思了；我们继续用数学语言来描述:

y=Asin(wt+\theta)

这个正弦函数的周期为: $T=\frac{2\pi}{w}$ ,其实这样说并不正确，应该说这个正弦函数的最小正周期是 $T=\frac{2\pi}{w}$ ,所以，这个正弦函数的周期是 $T=\kappa\frac{2\pi}{w},\kappa\in Z$
好的，到这里了，先恭喜我们一下，我们的任务已经有了头绪了；
我们可以假设，这一系列的正弦函数有一个最大的周期就是 $f(t)$ 的周期 $T$ ,而其他的所有正弦函数的周期都是这个 $T$ 值除以相对应的整数，又因为 $w$ 为一个数列，且 $w = \frac{2\pi}{T}$ ;所以，对于这一系列的正弦函数而言，存在一个最小的 $w$ ,我们把他叫做 $w_0$ 【注：这里的 $w_0$ 和之前的不一样，这里是 $w$ 数列里的最原始的基准，数列里面别的数都是这个 $w_0$ 的正整数倍】,而 $w_0$ 我们也称之为"基角频率"
ok,下面我们的条件加上之后，我们便开始提取数值把😄

f(t)=A_0 + \sum_{n=1}^\infty a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt) \tag{4}

对等式两边进行积分可得:

\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} f(t)dt = \int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} A_0dt + \sum_{n=1}^\infty \int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} [a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt)]dt

由公理(3)可知：

\sum_{n=1}^\infty \int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} [a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt)]dt = 0

所以，最后的等式可以化为:

\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} f(t)dt = \int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} A_0dt + 0

所以，最后 $A_0$ 的结果为：

A_0 = \frac{\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} f(t)dt}{T}=\frac{1}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} f(t)dt

👏鼓掌鼓掌鼓掌，我们现在已经成功地写出了 $A_0$ 的值了，下面，我们要去计算 $a_n和b_n$ 中的每一个值了那么，这一步骤我们该如何解决呢？如果依然用积分的话，那将会把后面求和号里面的一整块全都变成0,那么我们如何导出我们想要的 $a_n$ 呢？
？？？？怎么办怎么办？我们回顾一下 $A_0$ 的值的提取过程；积分可以帮助我们取出积分号中冗杂的内容，而单独的一个常数便会通过这样的方法保留下来。保留下来，保留下里。。。。。等以下，要是可以想要抽取的那个值可以作为一个常数抽取出来，那岂不是美哉！！！哈哈哈哈没错，这是个完美的想法，但是我们该如何操作呢?
按照上面的分析来说我们最后想把所需要的 $a_n$ 的值通过常数的形式转换出来，那 $a_nsin(w_nt)$ 如何变换能够提取出一个常数呢？
我们假设这样的 $a_n$ 已经被作为常数提取出来了，那么我们如何成立能够让他回到 $a_nsin(w_nt)$ 呢？
回想三角函数的所有的性质:倍角公式，转换公式…
嗯？等等，倍角公式?没错就是这个，和这个的关系最大了；
倍角公式：
$cos(2*\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)$
$cos(2*\alpha)=1-2sin^2(\alpha)$
$cos(2*\alpha)=2cos^2(\alpha)-1$
$sin(2*\alpha)=2sin(\alpha)cos(\alpha)$
转换公式：
$sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)=sin(\alpha + \beta)$
$cos(\alpha -\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)$

ok,来吧，直接开始上首操作；下面我们来提取 $n=k时，a_n 和 b_n的值，即a_k和b_k的值$
还是先看公式(4)

f(t)=A_0 + \sum_{n=1}^\infty a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt) \tag{4}

开始两边同时乘以 $sin(w_kt)$ :

f(t)sin(w_kt)=A_0sin(w_kt) + a_ksin^2(w_kt)+a_ksin(w_kt)cos(w_kt) +\\ \sum_{n=1}^{k-1} a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt)+\sum_{n=k+1}^\infty a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt)

f(t)sin(w_kt)=A_0sin(w_kt) +\frac{a_k}{2}(1-cos(2w_kt))+a_ksin(w_kt)cos(w_kt) +\\ \sum_{n=1}^{k-1} a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt)+\sum_{n=k+1}^\infty a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt)

f(t)sin(w_kt)=A_0sin(w_kt) +\frac{a_k}{2}-\frac{a_k}{2}cos(2w_kt)+a_ksin(w_kt)cos(w_kt) +\\ \sum_{n=1}^{k-1} a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt)+\sum_{n=k+1}^\infty a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt)

由于积分后，只能保留常数项，所以，成功地提取出 $a_k$ 的值：

\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} f(t)sin(w_kt)dt = \int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} \frac{a_k}{2}dt=\frac{Ta_k}{2}

所以， $a_k$ 的值为：

a_k = \frac{2}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} f(t)sin(w_kt)dt

同理，我们可以求出 $b_k$ 的值：

b_k = \frac{2}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} f(t)cos(w_kt)dt

所以，我们可以看出，我们一开始的假设是正确的；而由于一系列正弦函数的缘故，不难发现所谓的狄利克雷条件

狄利克雷条件

设周期函数f(x)的周期为T，如果f(x)满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，且有
- $当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)$
- $当x是f(x)的间断点时，收敛于\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$

到这里，傅里叶级数讲解完毕！！！！😄 👏 👏
傅里叶级数

f(t)=A_0 + \sum_{n=1}^\infty a_nsin(w_nt)+b_ncos(w_nt)

且

\begin{cases} A_0=\frac{1}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} f(t) dt \\ a_n = \frac{2}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} f(t)sin(w_nt)dt\\ b_n = \frac{2}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} f(t)cos(w_nt)dt\\ \end{cases}

三、傅里叶级数的复数形式和傅里叶变换

复数，是一个严肃的话题，在这里只讨论与之相关的部分，下面隆重介绍，欧拉公式；
欧拉公式
$e^{i\theta} = cos(\theta)+isin(\theta)$
所以， $cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2};sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$
所以，傅里叶级数可以表示为:

f(t)=A_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n\frac{e^{iw_nt}-e^{-iw_nt}}{2i}+b_n\frac{e^{iw_nt}+e^{-iw_nt}}{2} \tag{5}

且

\begin{cases} A_0=\frac{1}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} f(t) dt \\ a_n = \frac{2}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} f(t)sin(w_nt)dt\\ b_n = \frac{2}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} f(t)cos(w_nt)dt\\ \end{cases}

把公式(5)进行整理变换：

f(t)=A_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2}(b_n-a_ni)e^{iw_nt}+\frac{1}{2}(b_n+a_ni)e^{-iw_nt}

由于:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2}(b_n+a_ni)e^{-iw_nt} = \sum_{n=-1}^{-\infty} \frac{1}{2}(b_n - a_ni)e^{iw_nt}

且：

A_0 = \frac{1}{2}(b_0-a_0i)

所以

f(t)=\sum_{-\infty}^\infty \frac{1}{2}(b_n-a_ni)e^{iw_nt} \tag{6}

由于 $\frac{1}{2}(b_n-a_ni)$ 是复数的形式，所以,我们直接 $F_n$ 来直接代替；则公式(6)变换为如下的形式：

f(t)=\sum_{-\infty}^\infty F_ne^{iw_nt} \\ F_n=\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-iw_nt}dt

四、非周期函数的傅里叶变换

这个就是一个非常有意思的地方了，我们一开始的假设就是对于所有的周期函数而言的，没有考虑过非周期函数的问题；而其实这个非周期函数和周期函数的区别就是在于周期的大小，如果 $T\to\infty$ ,那么普遍的周期函数就变成了非周期函数，所以：

\lim_{T\to \infty} 周期函数 = 非周期函数

所以，对应的傅里叶变换的公式推导，如下所示：
由周期函数的傅里叶变换可得:

f(t)=\sum_{-\infty}^\infty F_ne^{iw_nt} \\F_n =\frac{1}{T}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-iw_nt}dt

将 $F_n带入到f(t)中：$

f(t)=\sum_{-\infty}^\infty \frac{1}{T}\int_{-\infty}^\infty [f(t)e^{-iw_nt}dt]e^{iw_nt}

由于

w_n=n*w_0;w_{n+1}=(n+1)*w_0 \\ \Delta w =w_{n+1}-w_n=w_0=\frac{2\pi}{T}\\

所以

f(t)=\sum_{-\infty}^\infty \frac{\Delta w}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty [f(t)e^{-iw_nt}dt]e^{iw_nt}

若让

\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-iw_nt}dt=F(w)\\ 则f(t)=\sum_{-\infty}^\infty \Delta w F(w)e^{iw_nt}\\

ok，公式推到了这一步，已经达到了目的；下面就是求极限的过程。

\lim_{T\to\infty}f(t)=\lim_{T\to\infty}\sum_{-\infty}^{\infty}\Delta wF(w)e^{iw_nt}=\int_{-\infty}^{\infty} F(w)e^{iwt}dw\\ F(w)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-iw_nt}dt

这里的极限过程我得描述一下：

\lim_{T\to\infty}\Delta w = dw\\ \lim_{T\to\infty}w_n = w\\

所以，最后的非周期函数的傅里叶变换便是：

f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{jwt}dw\\ F(w)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{iwt}dt

本文作者： zhongyupei
本文链接： http://zhongyupei666.github.io/shu-xue/gao-shu/fu-li-xie-fen-xi/
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